欧拉图

具有欧拉回路的图称为欧拉图。

介绍

欧拉通路/回路：通过每条边有且仅有一次的通路/回路

欧拉图：具有欧拉回路的图

半欧拉图：有欧拉通路，无欧拉回路

欧拉图与哈密顿图的区别：
欧拉图是对于每条边通过且仅通过一次，哈密顿图是对于每个点通过且仅通过一次。

必要性

如果一个图能一笔画成，那么对每一个顶点，要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数：这时点的度为偶数。要么两者相差一：这时这个点必然是起点或终点之一。注意到有起点就必然有终点，因此奇顶点的数目要么是 0，要么是 2。

充分性

如果图中没有奇顶点，那么随便选一个点出发，连一个环 。如果这个环就是原图，那么结束。如果不是，那么由于原图是连通的， 和原图的其它部分必然有公共顶点 。从这一点出发，在原图的剩余部分中重复上述步骤。由于原图是连通图，经过若干步后，全图被分为一些环。由于两个相连的环就是一个环，原来的图也就是一个欧拉环了。

如果图中有两个奇顶点 和 ，那么加多一条边将它们连上后得到一个无奇顶点的连通图。由上知这个图是一个环，因此去掉新加的边后成为一条路径，起点和终点是 和 。